直三棱柱的性质

正确的命题是（）CA。 1 B. 2 C. 3D。 4 由平面的基本性质可知，①②③是正确的。 不在同一直线上的三点确定一个平面，故④不正确，故仅选C。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 2. 下列命题中，正确的是（）DA。 两个边长为矩形的棱柱是直立棱柱 B. 边长均为等腰三角形的棱锥是直立棱锥体 C. 边长为矩形的直棱柱是长方体 D. 底面为正多面体且两个相邻的棱柱与底面垂直的边是正棱柱。 要理解一个棱柱，我们一般需要从两个方面来分析：侧边是否垂直于底面以及底面多边形的形状，所以A和C是不够的。 准确的。 B中没有说明等腰三角形的腰是否是边，所以是不正确的。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 3. 在下列命题中： ① 点A、B、C ∈ 直线a，A、B ∈ 平面α，则C ∈ α； ②点AÎ直线a，a平面α，则Aα； ③α、β为不同平面，aα，bβ，则a、b在不同平面； ④ 如果三条直线两两相交，则这三条直线共面； ⑤ 如果空间中有四个点不共面，则这四个点中没有三点共线。 。

真命题的数量是 () CA。 0B。 1C. 2D。 仅3个。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 由公理1可知，①是正确的； 若a∩α=A，则A∈α，②不正确； 若α∩β=A，A∈a，A∈b，则a与b相交，则③不正确； 若三条直线为长方体的三条相交边时，它们不共面，则④不正确； 若空间四点中三点共线，则这四点共面，⑤正确，故仅选C。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 4. 给出如下命题： ① 如果平面 α 上的直线 a 和平面 β 上的直线 b 是面外直线，且直线 c 是α和β，则c至多与a和b之一相交； ②若直线a、b在不同平面，直线b、c在不同平面，则直线a、c在不同平面； ③ 必须存在一个平面α，同时与不同平面内的直线a、b 平行。 正确的命题是（）CA。

①B. ②C. ③D． 仅①③。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. ① 错误，c 最多可以与 a 和 b 中的两个相交； ② 错误，因为a和c可能相交或平行； ③ 确实如此，例如，过不同平面内的直线a和b且公共A平面垂直于该垂线的公共垂直线段的中点就足够了。 所以只选择C.。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 5、如图所示，立方体ABCD-在中间。 ①A1B1与BC所成的角为； ②A1C1与AB所成的角为； ③A1C1与AB1所成的角为。 仅 90° 45° 60°。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 有限公司

一、直棱柱和正棱柱的结构和基本性质 1、直棱柱的定义：具有侧边①和底边的棱柱称为直棱柱。 2、正棱柱的定义：底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 3. 棱柱的性质： (1) 棱柱的所有边为②，所有边为③，直棱柱的所有边为④。 直棱柱的所有边都是⑤。 垂直于平行四边形的矩形只有全等矩形。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. (2) 棱柱的两个底面和平行于底面的横截面是⑥多边形。 (3) 棱柱的两个不相邻侧边的横截面均为 ⑦。 4、特殊四棱柱：平行六面体：⑧的四棱柱； 直平行六面体：⑨的四个棱柱； 直平行六面体：⑩的平行六面体； 长方体：直的平行六面体； 立方体：立方体。 对应边互相平行的全等平行四边形的底是平行四边形。 侧边垂直于底座。 侧边垂直于底座。 11.底座为长方形。 12. 边长仅相等。 和。 为了。 NET 3.5。

2004-2011 Pty Ltd. 二、直棱锥体的结构和基本性质 1、棱锥体的概念：如果多面体的一个面是多边形，其他面都是多边形，则该多面体称为棱锥体。 当基数为 时，且。 ，是直金字塔。 2. 金字塔的性质： 直金字塔的每条边都有边，并且所有边都有边。 ，每个等腰三角形底边的高度。 （称为直角锥体的斜高） 13 有公共顶点的三角形 14 正多边形 15 顶点在底面上的投影 16 等于 17 全等等腰三角形底边正多边形的圆心 18 18 等于仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 三、平面的基本性质 1、公理1：如果直线上的两点在一个平面内，则该直线也在这个平面内——判断的依据。 2、公理2：通过不在同一直线上的三点，存在且只有一个平面（即可以确定一个平面）——判断的主要依据。 3、公理3：如果两个不重叠的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条公共直线穿过该点——判断的主要依据。 19 直线是否在平面内 20 点和线共面 21 线仅在公共点和截面上。

和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 4. 空间直线 1. 空间四边形：没有四个顶点的四边形称为空间四边形。 2、全等角定理：在空间中，如果两个角的两条边平行直三棱柱的性质，则这两个角平行。 3、空间直线与直线的位置关系：。 。 4、面外直线所成的角：指通过空间中任意点O作两条平行线所得到的两条相交直线所成的角。 其取值范围为. 22 同一平面 23 相等或互补 24 平行、相交、不同平面 25 锐角或直角 26 (0, ] only. with . for . NET 3. 5 . 2004-2011 Pty Ltd. 问题类型 1 位置关系示例空间中两条直线之间 1 下列命题中： ①如果直线 a 和 b 无公共点，则 a∥b； ②如果直线 b∥ 平面 α，直线 aα ，则 b∥a ； ∥β，bβ，aα，则b∥a； ④若直线a不在平面α内，则仅a∥α；

和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. ⑤ 在长方体ABCD-中，平面ABCD与平面A1BC1只有一个公共点B； ⑥ 行a，b，c，如果a⊥c，b⊥c，则a∥b。 真命题的个数是 () A. 0B。 1C. 3D。 4. 将平面几何知识扩展到立体几何时要小心。 在直线之间的位置关系中，存在着一种新的空间异质关系。 复习时，应该用熟悉的空间几何来理解这种关系。 仅有一个。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 本题测试空间中点、线、面之间的位置关系。 解决这类问题，需要有一个清晰的概念，一一分析，可以使用熟悉的图形。 ① 直线a、b无公共点，a、b可以平行，也可以不在平面内； ②直线b∥平面α，直线aα，a、b可以平行，也可以在平面外； ③若平面α∥β，bβ，aα直三棱柱的性质，可见直线b与a无公共点，则a与b可以平行或在平面外； ④若直线a不在α平面内，则a与α相交或平行； ⑤ 若平面与平面有公共点，且有多个，则应有一条过B的公共直线。

⑥在太空中，考虑问题时必须脱离位面的束缚。 长方体的三个相互垂直的平行边是一个反例。 根据以上分析，仅选择A.。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 这道题常犯的错误是：（1）分析命题①⑥时，直接照搬平面几何中的结论，没有分析； （2）分析命题⑤时，只看到曲面上有一个交点，误认为两个曲面之间只有一个交点。 路口。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 问题类型 2：确定不同面的直线及其形成的角度。 例2：在三棱锥S-ABC中，SC=1，其他边的长度均为2。如果E和F分别是SC和AB的中点。 (1) 证明：EF和SA是对边直线； (2) 求对边 EF 和 SA 上的直线夹角的余弦。 需要面外直线EF和SA形成的角度。 如果SA平移与EF相交，很容易找到AC的中点。 仅有的。 和。

为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. （1）证明：假设EF和AS共面，则A，S，E，F∈α。 由题假设A、S、E三点不共线，且确定平面ASC，则平面α与平面ASC为同一平面。 且Aε平面ASC，Fεα，即FεASC。 同时，A、FÎ直线AB，则AB平面ASC，故BÎ平面ASC，与三棱锥S-ABC矛盾，故EF、AS不在平面内。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. (2) 如图所示，取AC的中点K并连接到EK。 因为E是SC、EK∥SA的中点，所以∠KEF（或其补角）就是面外直线EF与SA所成的角。 连接KF，还有KF∥BC。 在△EKF中，EK=KF=1。 又因为 SF=CF EF⊥SC，所以 EF2=SF2-SE2=3- =，而已。 和。

为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 则EF=，故cos∠KEF===，故面外直线EF与SA夹角的余弦为。 (1) 判断或证明两条直线不在平面内，常用反证法。 （2）求不同平面上的直线所成的角，一般先通过平移求出相关角（如果是与中点相关，则大部分角可以通过中线平移），然后将其代入三角形，利用解三角形的相关知识来解。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. 三直立（正）棱柱和直角锥体的结构特点应用实例如图3所示。在直立三棱柱ABC-中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1 =4。 (1)求不同平面的直线AC1和B1C形成的余弦值； (2) 求直角三棱柱除以截面C1AB 所形成的两部分的体积比。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。

2004-2011 Pty Ltd. (1) 取AB 的中点D，连接CD 和B1D，假设BC1∩B1C=E，连接DE，则DE∥AC1。 所以∠CED就是AC1和B1C所成的角。 在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，所以cos∠CED==。 因此，直线AC1和B1C所成角度的余弦为。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 Pty Ltd. (2) 由直三棱柱ABC-可知CC1⊥平面ABC，即CC1是直三棱柱的高，也是三棱锥C1-的高ABC。 故==，故==，即直角三棱柱截面的体积比为1:2或2:1。 △ △ 综合问题涉及正棱锥或直（正）棱柱，其结构特征和基本性质往往是解决问题的基础。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。

2004-2011 Pty Ltd. 1. 平面的三个基本性质是立体几何推理的基础。 注重绘图（尤其是剖面图）的训练，加深对公理的掌握和理解。 公理2和确定平面的三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的基础。 2、证明几个点共线的重要方法之一就是证明这些点是两个平面的公共点，然后由公理3可知它们共线。 仅有的。 和。 为了。 NET 3.5。 2004-2011 有限公司