外心的性质和定义

圆心定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点。 该点称为三角形的外心。

注意，外心到三角形三个顶点的距离相等，结合垂直平分线的定义，外心定理其实很容易证明。

计算外心重心坐标是一项麻烦的工作。 首先计算以下临时变量：

d1、d2和d3分别是连接三角形的三个顶点到另外两个顶点的向量的点积。

c1=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2; c=c1+c2+c3。

重心坐标：((c2+c3)/2c、(c1+c3)/2c、(c1+c2)/2c)。

圆心是三角形三个内角平分线的交点，也就是内切圆的圆心。

圆心为三角形角平分线交点的原理：过圆外一点画两条切线，连此点与圆心的连线平分两条切线之间的角度（原理：角平分线上的点到角两边的距离相等）。

内定理：三角形三个内角的平分线相交于一点。 该点称为三角形的内心。

注意，圆心到三边的距离相等（内切圆的半径），圆心定理其实很容易证明。

若三边分别为l1、l2、l3，周长为p，则重心坐标为(l1/p，l2/p，l3/p)。

直角三角形的心到边的距离等于两个直角边之和减去斜边之差的二分之一。

双曲线任意分支上的一点与两个焦点所形成的三角形的中心在实轴上的投影就是相应分支的顶点。

重心是三角形三边中心线的交点。 三条线的交点可以用燕尾定理证明，很简单。 证明过程又是 Ceva 定理的一个特例。

重心的几个性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心与三角形三个顶点组成的三个三角形的面积相等。

3、重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心坐标为顶点坐标的算术平均值，即其坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/ 3）； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 纵坐标：(z1+z2+z3)/3

三角形三个高的交点称为三角形的垂线。

锐角三角形的重心在三角形内部。

直角三角形的重心位于三角形的顶点。

钝角三角形的重心在三角形的外面。

垂直中心为高线的交点

垂线是从三角形的顶点到其对边所画的三个垂线的交点。

三角形的三个顶点、三个垂直脚和垂直中心可以产生6个四点圆。

在三角形上画三个高，三个高必须相交于垂直中心。

高线将三角形分开，出现三对直角。

有十二个直角三角形，形成六对相似的形状。

有一个四点圆图外心的性质和定义，仔细分析就可以发现。

证明如第二张图所示。 虽然“角”符号是乱码，但是大家应该都能看懂。 CF为待证明的高度； 两个角度（DOC和BAD）相等后使用相似性证明外心的性质和定义，这部分省略。 对于直角三角形，直角的顶点显然是垂直中心； 钝角——你没发现三角形OBC的垂直中心是A吗？

垂直中心的重心坐标比外心的重心坐标简单。 首先计算以下临时变量（与外心相同）：

d1、d2、d3是连接三角形三个顶点到另外两个顶点的向量的点积（这句话很长^_^）。

c1=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2; c=c1+c2+c3。

重心坐标：(c1/c、c2/c、c3/c)。