函数的定义、定义域及判断方法：变量、常量与函数的关系

1.变量：在变化过程中可以取不同值的量。

常数：在变化过程中只能取相同值的量。

2.函数：一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的对应值，则我们称x为自变量，y为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否是X的函数，我们只需要看当X取某个特定值时，Y是否有一个唯一值与X相对应。

3.定义域：一般来说，函数的独立变量允许取值的范围称为该函数的定义域。

4.确定函数定义域的方法：

（1）当关系为整数时，函数的定义域是全部实数；

（2）当关系中含有分数时，分数的分母不等于零；

（3）当关系含有二次根时，开平方数大于或等于零；

（4）当关系中含有指数为零的表达式时，底数不等于零；

（5）在实际问题中，函数的定义域必须与实际情况相一致，才有意义。

5.函数表达式：用包含代表自变量的字母的代数表达式来表示因变量的表达式称为函数的解析表达式。

6. 函数图

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别取为某一点的横纵坐标，那么在坐标平面上由这些点构成的图形就是该函数的图形。

7. 用点追踪法绘制函数图形的一般步骤

步骤1：列表（表格中给出了一些独立变量的数值及其对应的函数值）；

第二步：画点（在直角坐标系中，以自变量的值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，画出与表格中的数值对应的点）；

步骤3：连接线条（按照横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线将画出的点连接起来）。

8. 函数表示

列表法：一目了然，使用方便一次函数知识点，但列出的对应值有限，不易看出自变量与函数的对应关系。

解析表达法：简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数之间的相互依赖关系。但有些实际问题中的函数关系无法用解析表达式来表达。

图解法：直观、生动，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

线性函数

2. 正比例函数及其性质

一般把形式为y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为正比例函数，其中k称为比例系数。

注：正比例函数的一般形式为y=kx（k不为零） ①k不为零 ②x指数为1 ③b为零

当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，且从左向右上升，即y随着x的增加而增加；

当k

（1）解析公式：y=kx（k为常数，k≠0）

（2）必传点：（0，0），（1，k）

（3）方向：当k>0时，图像经过第一、第三象限；k

（4）增减：k>0​​，y随x的增加而增加；k

（5）倾角：|k|越大，越靠近y轴；|k|越小，越靠近x轴。

3. 线性函数及其性质

一般地，如果形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），则称y关于x是一次函数，当b=0时，y=kx+b，即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。

注：线性函数的一般形式为y=kx+b（k不为零） ① k不为零 ② x指数为1 ③ b为任意实数

线性函数 y=kx+b 的图形是一条通过 (0, b) 和 (-k/b, 0) 的直线。我们称它为直线 y=kx+b。它可以看作是直线 y=kx 平移 |b| 个单位。（当 b>0 时，它向上平移；当 b>0 时，它向上平移。）

（1）解析公式：y=kx+b（k、b为常数，k0）

（2）必经点：（0，b）和（-k/b，0）

（3）趋势：

k>0，图像经过第一、第三象限；k

b>0，图像经过第一、第二象限；b

（4）增减：k>0​​，y随x的增加而增加；k

（5）倾斜：|k|越大，图像越靠近y轴；|k|越小，图像越靠近x轴。

（6）图像翻译：

当b>0时，将直线y=kx的图形向上平移b个单位；

当b

4. 如何绘制线性函数y=kx+b的图形。

根据几何知识：通过两点可以画出一条直线，且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画函数图像时，只需要先画出两个点，然后把两点连成一条直线即可。

一般情况下，我们先选取两个坐标轴的交点：(0,b),(-k/b,0)。也就是横坐标或纵坐标为0的点。

5. 正比例函数与一次函数的关系

线性函数 y=kx+b 的图形是一条直线，可以看作是将直线 y=kx 平移 |b| 个单位的结果。

至（当b>0时，向上移动；当b

6. 正比例函数与一次函数及其性质

7. 利用待定系数法确定函数解析表达式的一般步骤：

（1）根据已知条件，写出含未知系数的函数关系；

（2）将几对x、y值或图形上几个点的坐标代入上述函数关系中，得到一个含有未知系数的方程；

（3）解方程，得出未知系数的值；

（4）将未知系数代入所需函数关系，得到所需函数的解析表达式。

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