线性代数知识梳理：各单元知识点详解

今天我将用这篇文章来梳理一下线性代数课程各个单元的知识点，由于文章篇幅较长，本次线性代数知识梳理分为两部分，矩阵初等变换之后的内容就留在下一部分了。

01

线性代数知识图谱

线性代数是处理线性关系的代数学的一个分支。

线性关系是指数学对象之间的关系用线性形式来表达。例如，在解析几何中，平面上直线的方程是二元一次方程；空间中平面的方程是三元一次方程，而空间中的直线则看作两个平面的交点，用由两个三元一次方程组成的方程组来表示。有n个未知数的线性方程称为线性方程。因变量为线性函数的函数称为线性函数。

线性关系问题称为线性问题。求解线性方程组是最简单的线性问题。

02

行列式

2.1 定义

矩阵的行列式（缩写为 det）是根据矩阵中包含的行和列数据计算出的标量。它用于求解线性方程。

2.2 二阶行列式

计算方法：对角线法则

2.3 三阶行列式

计算方法：对角线法则

2.4 n阶行列式 2.4.1 计算排列的逆序数

2.4.2 计算 n 阶行列式

2.4.3 简化计算摘要

2.4.4 行列式的三种表达方式

2.5 行列式的性质

性质 1：行列式等于其转置行列式

注意：在行列式中逆序数在行列式的意义，行和列的地位相等，且对行成立的行列式的性质对列也成立。

性质 2：交换行列式的两行（列），行列式的符号会改变

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零

性质3：行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个倍数k，等于将行列式乘以数字k。

推论：行列式某一行（列）中所有元素的公因数都可以移到行列式符号之外。

性质4：如果行列式中两行（列）的元素成比例，则行列式为零。

性质5：如果行列式某一列（行）的元素是两个数的和，那么它等于相应两个行列式的和。

性质6：如果将行列式某一列（行）的每个元素乘以相同的倍数，然后将其与另一列（行）的相应元素相加，行列式保持不变。

2.6 行列式的计算方法

1）利用定义

2）利用性质将行列式转化为上三角行列式，然后计算行列式的值

该定理包含三个结论：

1）方程组有解；（解的存在性）

2）解是唯一的；（解的唯一性）

3）可由公式（2）给出解决方案。

定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，则该线性方程组必定有解，且该解是唯一的。

定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必定为零。

齐次线性方程的相关定理

定理5 若齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则该齐次线性方程组只有零解，没有非零解。

定理5′ 如果齐次线性系统有非零解，则它的系数行列式必定为零。

1. 利用克莱姆法则解决线性方程的两个条件

1）方程的个数等于未知数的个数；

2）系数行列式不等于零。

2、克莱姆法则的意义在于建立线性方程组的解与已知系数和常数项之间的关系，主要适用于理论推导。

2.8 按行（列）展开行列式

对角线规则仅适用于二阶和三阶行列式。

本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式。

03

矩阵

3.1 矩阵的定义

注意：矩阵和行列式的区别

3.2 特殊矩阵

3.3 矩阵和线性变换

3.4 矩阵运算 3.4.1 矩阵加法

行列式与矩阵加法的比较：

3.4.2 矩阵乘法

3.4.3 矩阵-矩阵乘法

3.4.4 矩阵转置

3.4.5 方阵的行列式

3.4.6 伴随矩阵

3.4.7 共轭矩阵

3.5 可逆矩阵（或非奇异矩阵）

3.6 矩阵分块法

数学是一门美丽的学科，包括线性代数。它们所蕴含的知识详实多样，细致精妙，结论简练，解法合乎逻辑。今天给大家推荐一个数学竞赛，希望大家在2小时的竞赛中逆序数在行列式的意义，感受到数学思维之美。

赛事简介

为贯彻落实中央关于国家高新技术产业发展的重要指示精神，进一步明确国家高新区“十四五”发展思路和重点任务，国家一级协会分支机构中国国际科技促进会物联网工作委员会将举办面向全国大学生的“2024全国大学生高科技竞赛——数学竞赛”。

注册方式

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比赛亮点

01

具有挑战性的竞赛问题

大学的学习不应该仅仅局限于课堂学习和作业，一些高质量的学科竞赛是让学生看到更多可能性的机会，更有挑战性的竞赛题目可以帮助学生在备赛过程中提升自己网校哪个好，竞赛交流也可以帮助学生拓宽学习视野。

02

备战全国数学竞赛

本次数学竞赛的竞赛形式和难度与全国大学生数学竞赛类似，对于有兴趣参加下半年全国大学生数学竞赛的同学，可以提前做好本次竞赛的准备，看看竞赛的难度和题量。

03

查看考研数学复习情况

对于有意向考研的学生，竞赛题目均由知名大学老师参照教学大纲布置，在保证数学竞赛题量少、精的同时，也可作为研究生考研数学科目的模拟考试。

04

分享学习资料

竞赛专门设置了学习资料下载区域，其中会不定期更新各类数学相关的学习资料，同学们报名后可自行添加。

比赛奖励

本次大赛分组、分考场进行评奖，设一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，奖励比例（按实际参赛人数计算）如下：

一等奖：5%；

二等奖：15%；

三等奖：30%；

优秀奖：若干名（成功参赛即可获得优秀奖）

-证书样本-

优秀指导老师：

根据参赛学生报名情况及获奖学生人数进行综合评定，评选合格的高校教师将获得“优秀指导教师荣誉证书”。

优秀组织单位：

根据参赛学生报名人数、获奖学生人数进行综合考核，合格的单位将获得优秀组织单位荣誉证书。

各学院（部）、校社团均可申报优秀主办单位。

比赛规则

（1）本次比赛为个人赛，分为研究生组、本科生组、专科生组，请报名时根据实际情况选择组别。（比赛题目分为数学类和非数学类，报名时无需选择类别，考试时可直接选择要参加类别的考场）

（2）竞赛题目来自资深专家及企事业单位实际应用场景。

（3）整个竞赛将以线上方式进行，须提交作品电子版（可手写图像拍照上传）。

（4）比赛题目将在比赛开始时在大赛官方主页和大赛报名网站上公布，分为数学类和非数学类，不向选手邮寄书面题目。

比赛须知

01

參與者

凡普通高校、高职院校、中等专业学校、独立学院本专科学生、研究生，不限专业，均可报名参加；其他社会公众也可报名参加。

02

日程

报名时间：即日起至2024年4月19日

比赛时间：2024年4月20日10:00-12:00