函数的定义、性质及最值问题，侯老师带你深入探讨

（侯先生通过APP制作）

上节课我们讲解了函数的定义，函数的三个关键词一定要记住：定义域、对应关系、值域。牢记函数的三个关键词可以有效防止做题时犯错。这节课老师会继续讲解函数的相关知识。

函数是描述事物运动变化规律的数学模型。通过函数图像，我们很容易发现函数有一定的规律。那么函数都有哪些性质呢？

1.函数的单调性与函数极值问题

通过函数图像我们可以直观的观察到y值有时随着x的增大而增大，有时随着x的减小而减小。我们所说的有时其实是定义域的某个区间。函数的这种性质就是函数的单调性。在人教版教材中，对函数的单调性是这样定义的：通常设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I上某个区间D上的任意两个变量x1和x2，当x1f(x2)时，则称函数f(x)在区间D上是减函数。

（摘自人民教育出版社教材）

如果函数 y=f(x) 在区间 D 上是增函数或者减函数，则称函数 y=f(x) 在这个区间上是（严格）单调的，区间 D 称为 y=f(x) 的单调区间。

说到单调区间，就不得不说一下函数的最大值，也就是最大值（max）和最小值（min）奇函数的性质，具体定义如下图↓

（摘自人民教育出版社教材）

2. 功能奇偶性

（侯先生用手机APP制作）

对于类似上述函数，我们会发现函数图像有时关于 y 轴对称，有时又关于原点 (0, 0) 对称。函数的这种特性就叫奇偶性。关于函数的奇偶性，教科书上是这样定义的：一般来说，如果对于函数 f(x) 定义域中的任意 x，f(-x)=f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。如果 f(-x)=-f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。

另外，我们必须知道，偶函数的函数对象关于 y 轴对称。奇函数的图形关于原点对称。如果奇函数 f(x) 在 x=0 处有意义，则 f(0)=0。

判断函数奇偶性的方法主要有两种： ①定义法：一是检验定义域是否关于原点对称；二是检验f(-x)与f(x)的关系。 ②像法：检验像是否关于原点或y轴对称。

除了以上两种判断方法，我们还要记住奇偶函数四则运算的一些性质：定义在同一原点对称域上的两个函数，两个奇函数相加仍为奇函数；两个偶函数相加仍为偶函数；两个奇函数的乘积为偶函数；两个偶函数的乘积为偶函数；奇函数与偶函数的乘积为奇函数。具体见下图↓

（侯先生用电脑制作的）

3. 函数的周期性

一般而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每个x值都满足f(x+T)=f(x)，则称该函数f(x)为周期函数，这个非零常数T称为该函数的周期。

（侯先生通过APP制作）

关于函数周期性的更多内容奇函数的性质，在后面的三角函数中会详细讲解，这里就不再赘述了。

函数性质是函数知识中很重要的一部分，往年高考几乎都会有。这里只是给大家做一个简单的理论讲解，还是需要大家多练习才能掌握。多做练习，多练习。

（摘自人民教育出版社教材）

好啦，本次就到这里啦网校头条，下次见。