渐近线的定义 有了这份资料，高考双曲线问题再也不用怕了

综观近几年的中考语文试题，我们会发觉与双曲线相关的题型几乎年年就会考到，属于重要考点。题型也比较丰富，如有选择题、填空题、解答题的方式；考查的知识点有双曲线的定义、标准多项式、渐近线和离心律、双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系等等。

跟双曲线有关的选择题或填空题通常分值为4分或5分，解答题甚至10分题目就会有。为此，考生对双曲线的学习应加以注重。

要想学好双曲线，我们可以“借用”其他几个圆柱曲线内容，如学习双曲线的定义、标准多项式和几何性质时，可以对椭圆的定义、标准多项式和几何性质进行类比，找出它们的不同点，对比记忆，加深理解。

椭圆的定义：

平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称作椭圆，这两个定点称作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离称作椭圆的焦距。

双曲线的定义：

平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹称作双曲线，这两个定点称作双曲线的焦点，两焦点间的距离称作双曲线的焦距。

从椭圆和双曲线的定义，我们可以看见两种知识的联系和区别，这也更好帮助我们理解和把握好知识内容。如要注意“常数”所满足的条件以及绝对值所起的作用,要注意与椭圆中的有关多项式进行比较,并加以区别。

典型例题剖析1：

已知双曲线的多项式是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的焦点座标、离心律和渐近线多项式；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

解：(1)由16x2－9y2＝144得x2/9－y2/16＝1，

所以a＝3，b＝4，c＝5，

所以焦点座标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心律e＝5/3，渐近线多项式为y＝±4x/3.

(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，

cos∠F1PF2＝（|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2）/2|PF1||PF2|

＝{（|PF1|2-|PF2|）2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2}/2|PF1||PF2|

＝（36+64-100）/64＝0，

则∠F1PF2＝90°.

要想正确解决双曲线的问题，首先学好双曲线的基本概念、知识点等等，如求双曲线多项式时,若不能确定焦点位置,要注意分类讨论.若焦点所在的座标轴不同,其渐近线多项式的方式也不同。

分辨双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心律e＞1；椭圆的离心律e∈(0,1)。

典型例题剖析2：

设F1渐近线的定义，F2是双曲线x2－y2/24＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于.

解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知渐近线的定义，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝(6×8)/2＝24。

双曲线作为中考的热点内容之一，在每年全省各地的中考试题中，就会有相关的题型出现。一些复杂题型会以直线与双曲线位置关系为背景的求双曲线多项式问题，要借助点差法处理弦中点与斜率问题等。

应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须大于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。

典型例题剖析3：

牢记：双曲线多项式的求法

1、若不能明晰焦点在哪条座标轴上，设双曲线多项式为mx2＋ny2＝1(mn

2、与双曲线x2/a2－y2/b2＝1有共同渐近线的双曲线多项式可设为x2/a2－y2/b2＝λ(λ≠0)；

3、若已知渐近线多项式为mx＋ny＝0，则双曲线多项式可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)。

直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点。

典型例题剖析4：

要学会设出直线多项式或双曲线多项式，之后把直线多项式和双曲线多项式组成多项式组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程。

借助根与系数的关系，整体代入。

与中点有关的问题常用点差法。

要学会依照直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判定直线与双曲线的位置关系。

对于双曲线综合类问题，通常还会考查到双曲线的标准多项式、待定系数法、直线多项式、直线与双曲线的位置关系等知识，这种题型综合性强，估算量大。