求：海伦公式的变形公式（完整）

海伦公式及其推广的几种替代证明

计算三角形面积在解决问题中的主要应用公式有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边的高，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径，p = (a +b+c)，则

S△ABC = aha= ab×sinC = rp

= =

其中，S△ABC=是著名的海伦公式三角形海伦公式，记录在希腊数学家海伦的著作《大地测量学》中。

海伦公式在解决问题中有着非常重要的应用。

1.Heron公式的变形

S=

= ①

=②

= ③

= ④

=⑤

2. Heron公式的证明

证明毕达哥拉斯定理

分析：从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha开始，利用勾股定理推导海伦公式。

证明：如图ha⊥BC所示，根据毕达哥拉斯定理，可得：

x = y =

哈哈 = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC就是变形④，因此得证。

证明2：斯科特定理

分析：根据证明1，利用斯科特定理直接求ha。

斯里兰卡定理：取△ABC的BC边任意D点，

若BD=u，DC=v，AD=t。 然后

t 2 =

证明：由证明1可知u = v =

∴ha 2 = t 2 = -

∴ S△ABC = aha = a ×

此时就是S△ABC的变形⑤，因此得证。

证明三：余弦定理

分析：由变形可知②S=三角形海伦公式，并用余弦定理c2=a2+b2-来证明。

证明：证明S =

那么我们需要证明 S =

=ab×sinC

此时S=ab×sinC就是一个三角形计算公式，因此得到证明。

证明4：身份

分析：考虑用S△ABC=rp。 因为出现了三角形的内切圆的半径，所以可以考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○则

tg·tg + tg·tg + tg·tg = 1

证明：如图所示，tg=①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式，我们得到：

+ + =

代入①②③，可得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图：a+bc = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x

∴x = 类似地： y = z =

代入④，可得： r 2 · =

两边相乘得到：

r 2 · =

两边同时开平方，可得：r·=

左边r·=r·p=S△ABC，右边是Heron公式①的变形，从而得到证明。

证明5：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

证明：根据 tg = = ∴r = × y ①

同理 r = × z ② r = × x ③

①×②×③，可得：r3 = ×xyz

海伦公式，又译作海伦公式，据说是古代锡拉丘兹国王海伦二世发现的一个公式，他利用三角形三边的长度来计算三角形的面积。 然而，根据克莱恩1908年出版的著作，这个公式实际上是阿基米德发现的，并以托西隆二世的名义发表。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c。 三角形的面积S可以通过以下公式计算：

S=\sqrt{s(sa)(sb)(sc)}

以及公式中的s：

s=\frac{a+b+c}{2}

由于任何n边多边形都可以分为n-2个三角形，因此可以使用Heron公式作为求多边形面积的公式。 例如，测量土地面积时，不需要测量三角形的高。 您只需测量两点之间的距离，就可以轻松得出答案。

[编辑]证明

与Helen在他的书《》中最初的证明不同，这里我们使用三角公式和公式的变换来证明它。假设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C ，则余弦定理为

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}}{2ab}

因此三角形的面积S为

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(sa)(sb)(sc)}

最终的等号部分可以通过因式分解得出。