地图投影：地球表面到地图平面的转换方法与选择要点

3.2.1 地图投影基本问题

地图投影的基本问题是怎样把地球表面（椭球面或球面）表示在地图平面上。由于地球的椭球面或球面是不可展曲面，即不能展开成平面，而地图又必须是平面，所以把地球表面展开成地图平面必然会产生裂痕或褶皱。那么用什么样的数学方法才能使曲面展开成平面，使误差最小呢？就必须采用地图投影的方法，即用各种方法把地球表面上的经纬网格线投影到地图平面上。不同的投影方法，其投影变形具有不同的性质和大小。因此，在建立各种地理信息系统的过程中，选择合适的地图投影系统是首先必须考虑的问题。

投影，在数学中是指两个面之间的点与点、线与线的对应关系。同样，地图投影的定义就是在地球椭球（或球体）表面与地图平面建立一一对应关系。

（公式 3-1）

假设地球表面有一个点A

,λ),

其在平面上的对应点为Aˊ(X, Y)，根据地图投影定义，其数学变换公式为：

3.2.2 地图投影的变形

地球表面是不规则的曲面，即使把它看作是椭球面或完美的球面，也是数学上无法展开的曲面。这样的曲面如果用平面来表达，就会产生裂缝或褶皱。在投影面上，通过“拉伸”或“压缩”经纬线（通过数学手段）来避免这种情况，这样就能形成完整的地图，这就产生了变形。地图投影的变形通常可以分为长度、面积和角度变形三种，其中长度变形是其他变形的基础。为了进一步理解地图上的变形，你应该知道以下几个术语及其定义。

长度比——差动线段在地面上的投影长度ds'与其对应的实际长度ds之比。若用符号μ表示长度比，则

μ=ds′/ds （公式 3-2）

长度变形——长度比与1的差值。如果用符号Vμ来表示长度变形，则

Vμ=μ-1 （公式 3-3）

投影上的长度比不仅随该点的位置而变化，而且随该点的不同方向而变化。这样，在某一点处的长度比必有一极大值和一极小值，这个极小值称为极端长度比，通常用符号a和b分别表示最大和最小长度比。极端长度比的方向称为主方向。沿经度方向和纬度方向的长度比分别用符号m和n表示。在经纬度正交投影中，沿经度方向和纬度方向的长度比即为极端长度比，此时m=a或b，n=b或a。

面积比——地面上的微分面积投影dF'与其对应的实际面积dF之比称为面积比，通常用符号P表示，即

P=dF′/dF （公式3-4）

面积变形——面积比与1的差值。用符号Vp表示，则

Vp=P-1（公式3-5）

（公式 3-6）

角变形——某一角度在地面投影后的角度值β′与其实际角度值β之间的差值。即β′-β。在某一点，方位角的变形随方向不同而变化，所以某一点不同方向的角度变形不同。在投影中，某一点处的角度变形的大小以其最大值来衡量，称为最大角变形，通常用符号ω表示。

变形椭圆——地球表面的无限小的圆在投影中通常不能保持原来的形状和大小，而是被投影成大小不一的圆或各种形状、大小的椭圆，统称为变形椭圆，如图3-4所示。

图 3.5 变形椭圆

通常，可以根据变形椭圆判断投影的变形情况。若投影为大小不等的圆，见图3-4（a），a=b，则该投影为保角投影；若投影为等面积异形椭圆，见图3-4（b），a·b=r2，则该投影为等面积投影；若投影为不等面积异形椭圆，见图3-4（c），则为任意投影，其中若椭圆的某一半轴等于微分圆的半径，如b=r，则为等距投影。从变形椭圆还可以看出，变形椭圆的长、短半轴为极长比，长、短轴的方向为主要方向。

等变形线是将投影上变形值相等的点连成的线，如面积比等值线、最大角变形等值线等。等变形线绘制在地图投影草图上，可以直观地评价地图投影的变形分布情况和投影的质量。在制图实践中，为了得到测绘区域内变形较小、变形分布最均匀的投影，提出了使投影上的等变形线与测绘区域轮廓形状基本一致的要求，并以此作为投影选择的基本原则。

3.2.3 地图投影的分类

地图投影的分类方法有很多种，一般来说，可以按照外部特征和内部性质进行分类，下面介绍几种常用的地图投影分类方法。

根据地图投影变形（固有特征）进行分类

根据地图投影中可能引入的扭曲性质，它可以分为保角投影、等面积投影和任意（包括等距）投影。

（1）等角投影：地球表面的无穷小图形投影后保持相似，或两微分线段所成的夹角投影后保持相似，或两微分线段所成的夹角投影后保持不变，这种投影称为等角投影（也叫正交投影）。等角投影中，微分圆投影后仍为圆，面积随着点位置（纬度增加）的变化而发生较大变形，如图3-5所示。

（2）等面积投影：地球表面图形投影后面积不变，这种投影叫等面积投影。等面积投影中，微分圆变成不同形状的椭圆，但变形后的椭圆面积保持相等，只有角度变形较大，如图3-5所示。

图 3.6 变形椭圆的三种不同投影

等距矩形投影 等距投影 等面积投影

（3）任意投影：既不具有等角性，又不具有等面积性的投影称为任意投影。在任意投影中，如果沿某一主方向的长度比等于1，即a=1或b=1，则这种投影称为等距投影。

根据投影面相对于地球表面的相对位置进行分类

地图投影是先将不可展椭球投影到可展曲面上，再将曲面展开成平面，即可得到所需要的投影。常用的可展曲面有圆锥面、圆柱面和平面（曲率为零的曲面），相应地可得到圆锥投影、圆柱投影和方位投影。同时，根据投影面与地理轴线的相对位置，又可分为正交投影（两极在两极，或投影面中心线与地轴一致）、横交投影（两极在赤道上，或投影面中心线垂直于地轴）和斜投影（两极既不在两极，也不在赤道上，或投影面中心线与地轴倾斜）。这种分类可以用图3-6表示。 在此分类中，当投影面与地球表面相切时，称为切投影，当投影面与地球表面相交时，称为割投影。

图3.7 投影方式示意图

根据正交投影中经纬网的形状进行分类

根据此符号，投影可分为圆锥投影、圆柱投影、方位投影、伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影。

（1）圆锥投影：在投影中，纬度是同心圆弧，经度是圆的半径（见图 3-7C，右），经度与纬度之间的夹角与经度差成比例。

投影按变形性质可分为等角、等积和任意（主要为等距）圆锥投影。等角圆锥投影又称兰伯特（）等角圆锥投影；轴等积割圆锥投影又称阿尔伯斯（）投影。

（2）圆柱投影：在投影中，纬线是一组平行直线，经线是另一组与纬线垂直的平行直线，相邻两经线之间的距离相等（图3-7C左）。

投影按变形性质可分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意（包括等距）圆柱投影。等角圆柱投影又称墨卡托（）投影，广泛应用于航海图和小比例尺区域地图。等角横轴椭圆圆柱投影又称著名的高斯-克吕格投影，等角横轴椭圆圆柱投影又称通用横轴墨卡托（UTM）投影，在编制大比例尺地形图时应用广泛。

（3）方位投影：在投影中，纬度为同心圆，经度为圆的半径（图3-7C右），经度之间的夹角等于地球表面对应的经度差。

此投影可分为非透视方位投影和透视方位投影。非透视方位投影按变形性质又可分为等角方位投影、等积方位投影和任意（包括等距）方位投影。等积方位投影又称兰伯特（）等积方位投影。等距方位投影又称波斯托（）投影。

（4）伪圆锥投影：在投影中，纬线为同心圆弧网校头条，经线为相交于圆心的曲线（图3-7B2右）。

图 3.8 正交投影中的经纬网形状

（5）伪圆柱投影：在投影中，纬线是一组平行直线，而经线是某种曲线（图3-7B2左）。

（6）伪方位投影：在投影中，纬线是同心圆，经线是相交于圆心的曲线（图3-7B2右）。

（7）多圆锥投影：在该投影中，纬线是中心位于中心直径线上的共轴圆弧，经线则是关于中心直径线对称的曲线（图3-7A右）。

3.2.4 地图投影与GIS的关系

地图是地理信息系统的主要数据来源，也就是说地理信息系统的数据大部分来自于各类地图数据。不同的地图数据根据其制图的目的和需要，采用不同的地图投影。这些地图数据在进入计算机时，首先要进行转换，采用通用的地理坐标系和直角坐标系作为参照系，记录和存储各种信息要素的地理位置和属性，以保证同一地理信息系统内部（甚至不同地理信息系统之间）的信息数据能够进行交换、对齐和共享，否则后续一切基于地理位置的分析、处理和应用都将无从谈起。

地图投影对地理信息系统的影响渗透到地理信息系统构建的各个环节，它们之间的关系如图3-8所示。

图3.9 地图投影与GIS关系

3.2.5. GIS中地图投影的配置和设计

通过对国内外各种地理信息系统的分析可以发现，各类地理信息系统中投影系统的配置和设计一般具有以下特点：

各国GIS采用的投影系统与该国基本比例尺地图系列采用的投影系统一致；

地理信息系统中各种比例尺的投影系统与相应比例尺的主信息源地图所使用的投影一致；

各地区地理信息系统中的投影系统与本地区适用的投影系统一致；

各类地理信息系统一般只采用一种或两种投影系统，以保证地理定位框架的统一。从国外一些国家的地理信息系统配置也可分析出上述特点。

加拿大地理信息系统（CGIS）是世界上第一个公认的地理信息系统。该系统的主要信息来源是12000幅各种用途的土地利用图，比例尺系列为1：、1：、1：。这些土地利用图是利用一系列与地理底图比例尺相同的地形图编制的，采用与加拿大国家地形图系列一致的地图投影系统，即当大于或等于1：时，采用通用横轴墨卡托投影（UTM投影），当小于1：时，采用正交等角圆锥投影（投影）。CGIS以UTM投影作为系统的地理基础，考虑到地图数量和使用的方便性，选择1：作为系统的主要比例尺。 虽然小于1：50万的地图精密定位信息较少、可量测性较差，但鉴于CGIS数据处理子系统具有自动拼接形成较大区域数据库的能力，且CGIS分国家、省、市、地方四个层次进行存储、分析、检索和输出，且加拿大全国基本比例尺地图多采用投影，因此，系统也配备了投影作为中小比例尺数据的地理基础。

日本国土信息系统（JNLIS）是日本规模最大、最具代表性的国家地理信息系统，其目的是更有效地管理有关土地的各种数字信息和图像信息，其主要数据来源是地形图、土地利用图、航空照片和卫星图像。日本的地形图和土地利用图系列采用UTM投影，卫星图像采用斜轴墨卡托（HOM）投影点在平面上的投影，航空照片采用UTM投影，因此采用UTM投影。

美国地理信息系统建设的特点是先分散后统一，建设的系统数量远远领先于世界上任何一个国家。UTM投影是美国国家基本比例尺地图系统采用的投影系统。州平面坐标系是美国国家海洋调查局在国家大地测量系统中的UTM投影基础上为各州设计的平面坐标系。州平面坐标系主要以高斯-克吕格投影（等角截面椭圆圆柱投影）和投影为主，部分地区采用HOM投影。在设计州平面坐标系时，已考虑到投影对所在地区的地理适应性，保证了州内投影的精度。因此点在平面上的投影，大多数州际地理信息系统也采用州平面坐标系作为系统的数学基础。

因此，地理信息系统中地图投影配置的一般原则可以如下给出：

配置的投影系统应与相应比例尺的国家基础地图（基本比例尺地形图、基本省级地图或国家地图集）的投影系统一致；

系统一般最多采用两套投影系统，一套用于大规模数据的处理和输入输出，另一套用于中小规模的数据处理和输入输出；

所采用的投影最好是等角投影；

所使用的投影应该与网格坐标系兼容，即所使用的网格系统应该在投影带中保持完整。