奇函数的性质

1.双重对称性

如果 f(x) 的图形有两种对称模式，则它一定是周期函数。 我们有以下结论：

(1) 若f(x)关于x=a对称，且关于x=b对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，周期为2|ab|；

(2) 若f(x)关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，周期为2| ab|;

(3) 若f(x)关于点(a,0)对称且关于直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期为4|ab|的周期函数。

另外，对称性本身还有以下结论，应该牢记：

(1) 若f(x)关于直线x=a对称，则f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(ax)成立；

(2) 如果 f(x) 关于点 (a, 0) 对称，则 f(x)=-f(2a-x) 或 f(x+a)=-f(ax) 成立。

解：（1）解一：f(x)的像关于直线x=-1和直线x=2对称，所以f(x)是周期函数，周期为6，则f (15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

解2：根据f(x)关于直线x=-1和直线x=2对称的图像，有f(-1+x)=f(-1-x)，f( 2+x)=f( 2-x)，则 f(x)=f(-2-x)=f(6+x)，因此 f(x) 是周期为 6 的周期函数，f(15) =f(15-6×2)=f(3)=10。

(2) 解法1：f(x)的图像关于点(-1, 0)和(2, 0)对称，所以f(x)是周期为6的周期函数，则f(15 )=f(15-6×2)=f(3)=10。

解二：根据图像关于点(-1, 0)和(2, 0)的对称性，可得f(x)=-f(-2-x)，f(x)=-f(4 -x)，则f(-x)=-f(x-2)，f(-x)=-f(x+4)，即f(x-2)=f(x+4)，我们得到f(x)的周期是6，所以f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

(3) 解一：f(x)的像关于点(-1, 0)和直线x=2对称，所以f(x)是周期为12的周期函数，则f( 15)=f(3)=10。

解二：函数y=f(x) (x∈R)的图形关于点(-1, 0)和直线x=2对称，则f(x)=-f(-2- x), f(2+x)=f(2-x), 则 f(-x)=-f(x-2), f(-x)=f(4+x), 所以 f(x- 2）+f(x+4)=0，根据知识点1.2，f(x)是周期为12的周期函数，则f(15)=f(3)=10。

小结：如果函数关于两条直线对称，或者关于x轴上的两点对称奇函数的性质，则周期是对称直线横坐标或对称中心之差的两倍； 如果函数关于直线和 x 轴上的点对称，则周期是对称直线与对称中心横坐标之差的四倍。

另外，对称性和周期的表达形式非常接近，记忆时很容易混淆。 以下推论可能有助于记忆：

示例 2. 假设对于任何实数 x，函数 f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x)、f(7+x)=f(7-x) 和 f(x)=0 ，判断函数f(x)的图形与x轴在区间[-30,30]内有多少个交点？

解：由题假设函数f(x)的图形关于直线x=2和x=7对称，由函数的性质可知f(x)是一个周期为10. 在周期区间 [0,10) 上，f(x)=0，f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0 并且 f(x) 不能be 常数为零奇函数的性质，因此 f(x) 图像与 x 轴至少有两个交点。 区间[-30,30]有6个周期，因此在闭区间[-30,30]内f(x)图像与x轴之间至少有13个交点。

2.奇偶函数的另一个对称轴（或对称中心）

如果R上定义的函数是奇函数或偶函数，并且有另一个对称轴或中心，那么这样的双对称函数一定是周期函数，并且具有以下规则：

解： (1) f(x)的图形关于直线x=0和直线x=2对称。 可见f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，周期为2×2=4，则f(17)=f(17-4×3)=f( 5)=26。

(2) f(x) 的图像关于原点和 (2, 0) 对称。 可见f(x)是奇函数，f(x)是周期函数，周期为2×2=4，则f(17)=f(17-4×3)=f( 5)=26。

(3) f(x)的像关于原点和直线x=1对称。 可见f(x)是奇函数，f(x)是周期函数，周期为4×1=4，则f(15)=f(15-4×3)=f( 3)=-f(-3)=-f(5)=-26。

(4) 函数y=f(x) (x∈R)的图形关于直线x=0和点(1, 0)对称。 可见f(x)是偶函数，而f(x)是周期函数，周期为4，则f(15)=f(15-4×3)=f(3)=f (-3)=f(5)=26。

3.平移对称性

(1) 若f(x+a)是偶函数，则f(x)的图形关于直线x=a对称；

(2) 若f(x+a)为奇函数，则f(x)的像关于点(a, 0)对称

例 4. f(x) 的定义域为 R。如果 f(x+1) 和 f(x-1) 都是奇函数，则 ( )

A. f(x) 是偶函数 B. f(x) 是奇函数 C. f(x)＝f(x+2) D. f(x+3) 是奇函数

解：∵f(x+1)是奇函数，则其对称中心为(1,0)； 同理，f(x-1)是奇函数，容易知道f(x)有一个对称中心(-1,0)。

由双重对称性推导出f(x)是周期函数，周期T=2|1+1|=4。

下面我们来分析几个选项。

如果f(x)是偶函数，那么根据第二点的结论，周期为T=4|1-0|=4，满足条件。

如果f(x)是奇函数，那么根据第二点的结论，周期T=2|1-0|=2，则4也是f(x)的周期，满足条件；

因此，f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，且不包括A和B； 如果 f(x) 是偶函数，周期为 4，则 C 不正确。

由于f(x)的周期为4，所以f(x+3)=f(x-1)是奇函数，因此D一定是正确的。

摘要：本题是一道高考题。 其实得到D作为正确答案比较容易，但是排除A、B、C就会麻烦一点。其实f(x+a)是一个偶函数，相当于移动f(x) 的图像向左移一个单位以获得偶函数。 因此，x=a必定是f(x)的对称轴； f(x +a) 同样是奇函数。