奇偶函数的加减乘除

距离2019年高考还有324天，高考数学难题，我们该如何攻克呢？今天，听新东方数学套路王者毛毛老师为你讲解快速提升30-130分的攻略！

高中数学第一轮复习

进入高三后，每门科目都会有一轮复习，这是整个高三复习阶段最基础也是最重要的一个环节。但很多同学对第一轮复习不够重视，或者对第一轮复习的目标不明确，以为第一轮复习就是做一些题，听听对题目的点评。这使得他们在之后的复习中处于一知半解的状态，章节知识和试题存在漏洞，不仅大大影响了复习效率，也很容易打击自信心，产生挫败感，甚至产生想要放弃的心态。

那一轮复习需要完成什么样的任务目标呢？本文将阐述一轮复习需要完成的三个目标，并具体阐述每个目标在高考数学领域的具体体现。其他学科较弱的同学也可以参考，学习方法和思路都是通用的。

目标 1：复习旧知识

进入高三后，很多知识点在高一、高二已经学过了，但由于时间间隔较长，容易遗忘，知识学得不全面，跨章节知识整合较少，需要在高三通过一轮复习巩固所学。

（1）时间间隔长容易忘记

例如高一上学期数学教材第61至64页关于函数运算的定义，在高一时讲解得非常少，但高三之后就有了广泛的应用，比如对勾函数

、功能区功能

可以看作是两个基本的初等函数

和

用加减法连接起来的复杂函数。如果你不知道基本的初等函数可以通过加减乘除法组合成复杂函数，那么单调性、奇偶性等性质与函数运算结合时的结论就更不清楚了。只能背诵“增加+增加就是增加，增加-减少就是减少，增加-减少未知，减少+减少就是减少，减少-增加就是减少，减少+增加未知”等穷举单调性和两个函数加减法的结论。然而【毛毛学长】在【知你课堂】告诉大家，只需要记住一句话：增加和减法相同的多个函数的加法单调性不变（如果把减法和下面的函数看成一个整体，就变成了加法连接），这个在处理多个函数加减法的单调性时非常好判断~

因此，进入高三之后，需要把高一、高二学过的相关内容全部复习一遍，类似的知识包括向量的基变换法，级数的数学归纳法，方差、标准差的概念等等。

（2）没有学习全部的知识

很多知识点受限于高一、高二学生的认知水平还未达到一定程度，在高一、高二没有详细讲解。例如高一上学期数学教材73-75页中二分法求函数零点的本质是闭区间上连续函数的介值定理（或零点存在定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a).f(b)＜0，则必有

，使得f(c)=0）。如果不讲清楚这些延伸知识，那么像2015年黄浦区第一场模拟理科卷第21题（2）这种求证某区间上一定存在唯一零点的进阶题肯定是解不出来的。（因为证明零点存在性问题的下一层是证明零点唯一存在，最难的是研究区间边界值无意义的情况。【毛毛学长】会在【知你课堂】讲两种解法）

再比如序列篇章中序列的定义。在高一、高二的时候，学生通常只学习第一个定义：序列是按照一定的规律按顺序排列的一系列数字。但如果学生只掌握了这个层次，在解题时就会很迷茫。为什么函数的单调性、周期性等问题也要在序列中研究？为什么函数中很多经典的问题类型，如不等式永远成立的问题，也要在序列中研究？为什么从二次函数图像的角度来分析等差数列前n项和的最大值？因为在高三，一轮复习回来再看序列篇章的时候，就会讲解第二个定义：序列本身是定义在N*或其有限子集上的函数。只有学习了这个定义，我们才能把函数篇和序列篇联系起来，学会用函数解序列的问题，遇到诸如

*学习的时候，我们会从数列的角度去学习。

3. 跨章节知识整合较少

由于高一、高二知识学习顺序的限制，在刚开始学习一些各个章节共有的方法时，是没办法告诉你的。而且高一、高二的考试一般会考相关章节。但是高三的时候，一张卷子有21道题，会考高三数学的所有章节。那么很多题目会有多个章节的综合题。在刚开始学习一些知识和方法的时候，这些章节是没有联系的，使得学习内容比较碎片化。高三需要一次性复习完，把这些问题讲解的比较全面。

例如，在数列章节中学习算术数列的前 n 项求和时，我们会学习反向加法。这种方法可以在很多章节中应用，例如函数、三角学、排列。但由于学习章节的顺序，在学习函数和三角学时我们不会提到这种方法。在学习排列时，由于数列之间的间隔很长，我们也不会过多解释它。例如，在高一时我们可以做的两道题，就用到了函数和三角学章节中的反向加法：

在函数中：

在三角形中：

求

的价值 。

在高三的时候，需要打破章节之间的壁垒，对一些贯穿多个章节的方法和知识进行全面的讲解。

目标二：建立新系统

高一、高二学习的章节知识顺序是课本的时间顺序和逻辑顺序，学生在学习时容易处于孤立状态。高三需要重新建立一套全新的主要章节体系。但建立的体系需要具备两个功能，如果体系不具备这两个功能，就只是“摆设”，难以应用。下文将以毛毛在“懂你课堂”建立的功能章节体系来解读这两个功能。

在这个函数体系中，有两条主线，第一是函数知识：函数性质的零点放在定义域旁边，因为它们都是研究自变量的情况，最大值放在值域旁边，奇偶性、单调性、周期性与解析表达式关系最密切（其中奇偶性的导出对称性、单调性的导出凹性、周期性的导出周期函数，这个体系里先不写）；第二是函数形式：基本初等函数有一次和二次反比、三角对勾、幂运算（反三角函数看作三角函数的导数，带状函数看作对勾函数的导数）。复杂函数形式包括函数运算、分段函数、复合函数、像变换、抽象函数、新定义函数六大形式，基本初等函数可以通过这六种方法组合成复杂函数。

（一）功能一：系统学习本章

建立体系的第一个作用就是能够系统地学习章节。当我们建立这个体系之后，学习每一个知识点会遵循以下四个层次的逻辑：

1.知识点本身的定义、判断、证明、讨论等考核点；

2、知识点+其他知识点的综合考查；

3、知识点+基础及复杂函数形式的综合考查；

4、跨章节知识点综合考查。

例如，在第一级中，学生将学习单调性的定义、判断技巧、证明过程（差分法、商法）、讨论基础等。

第二层单调性+奇偶性考点：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反（利用形象记忆，否则就有两组奇偶性+最大值的结论，容易混淆，减轻学生记忆负担）；单调性+最大值、值域考点：利用单调性求解函数值域等；

第三层级，学习单调性+函数运算：同增同减的多个函数相加依然是单调的；单调性+分段函数：每段都是单调的，连接点遵循单调的趋势；单调性+复合函数：同增不同减；单调性+图像变换：平移变换后对应区间的函数单调性奇偶函数的加减乘除，前后不变；单调性+抽象函数：排序成

的标准形式，利用对f的单调性，变换来求解抽象函数，解决不等式问题等等；

第四层次的学习单调性涵盖了序列篇中的一系列问题，由于定义域的特殊性，需要考虑的因素也变得多样。

通过上面的例子，相信已经可以跟大家解释清楚了，一个优秀的体系一旦建立起来，就可以引导我们重新学习章节，进而把很多考点分解成系统组合。其实，在我们高一上学期的数学教材里，关于函数这一章节，根据毛毛的观察，有两条主线，或显性，或隐性。显性线是函数的知识，隐性线是函数的形式。笔者就是通过书中61到64页的隐性线：复杂函数和函数运算的形式，进而解开散落在书中各个主题、例子、练习中的其它形式：比如59页例子4的税收问题就是分段函数，83页例子6也是分段函数。

图像是图像变换，60页的邮件和邮资问题是新定义的函数[X]（四舍五入函数）。体系的建立绝对不是简单的知识点罗列，加上一些粗略的总结，要能用尽可能少的逻辑涵盖更多的内容，并能按照一定的逻辑组合成测试点，帮助学生利用体系学习章节。

（二）功能二：以逻辑方式解决问题

建立体系的第二个功能，是利用体系有逻辑、有层次地解决问题。功能篇中解决问题的逻辑顺序为：

1.看函数定义域；

2.阅读函数知识；

3.看函数形式。

对于任何函数问题，我们都应该首先考虑领域，然后看题目中出现的函数知识（也就是体系中的关键术语），再看题目给出的函数形式。后两者的结合往往指向一个很具体的考点，可以指导我们解决问题。比如一个很简单的题目，即看函数的角度不同会有不同的组合，进而产生不同的解题方法：

已知 f(x) 的定义域为 [-1,1]，求 f(x+1) 的定义域。

这道题中出现的函数知识就是定义域。对函数形式的不同解释会导致不同的处理方式：

所以我们知道一个优秀的系统可以帮助我们在解决问题的时候从多个角度选择更好的解决方案。

目标 3：理清问题类型和套路

高三的时候我们需要系统地梳理一下题型和套路，这样可以在考试的时候节省我们不必要的思考时间，但是题型和套路需要讲清楚问题的四个方面：

（一）第一层：问题类型识别

也就是什么条件组合、题型、题目结构特点，就用什么类型的题型套路。这一点如果不讲清楚，考试的时候会想不起来，考完后其他同学提醒你的时候才会突然想起来。也会有用得不慎丢分的尴尬情况。比如解析几何中，有种很经典的方法叫“不求而取”，其题型识别被毛毛在【读懂你的课堂】总结成两点：

1.一条直线与一条曲线相交于两点；

2.给出或要求研究者研究两点之间的关系（如角度关系、长度关系、角度+长度关系）；

学生只有掌握了这一点，在遇到此类问题时才能毫不犹豫地使用这种方法。

（二）第二层次：解决问题的套路

当所有同学学习一类题的解题套路时，都会学到很多步骤，但这些步骤一定要具体，要有操作性。任何常见的分类讨论，都需要充分提炼。以两字母不等式问题为例奇偶函数的加减乘除，所有同学都知道可以用函数性质和参数分离这两个套路，但只知道这一步是远远不够的，还需要知道什么时候用前者，什么时候用后者，函数性质该用什么（如果只知道一种有适用前提的方法比如用端点值代替线性函数，却不知道什么时候不能用，在考试中遇到不等号不包含等号的情况，以及研究区间为开区间的情况，都极其容易犯错，限于篇幅，本文不再赘述），以及参数分离的三种形式参数与变量组合产生的不同的参数分离要求。 我们在总结解题套路的时候，每一步都要具体、有操作性，不能用“观察”“感觉”这种主观色彩浓厚的词语。

（三）第三级：预防措施

很多方法都有注意事项，如果注意事项不清楚，很容易丢1分、2分，检查答案的时候以为自己犯了错误，其实是因为题型和套路有差距。

（四）第四级：衍生变形

一道题型需要从最简单的情况讲到最难的形式，有些题型和方法会跨越多个章节，限于本文篇幅有限，我就不多讲了，以后有机会再继续给大家分享。

相信只要大家做到了复习旧知识、建立新体系、梳理题型和套路这三个目标，就一定能在一轮复习中稳步前进，打下坚实的基础，以后学的会越来越顺利。

这个暑假，毛毛老师还为各位同学准备了《暑期高考数学初试复习攻略直播课》，足不出户就能快速提升成绩！